Question

【題目】設(shè)拋物線C:的焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)A到軸的距離等于.

（1）求拋物線C的方程；

（2）已知經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，證明： 為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）利用拋物線的性質(zhì)和已知條件求出拋物線方程，進(jìn)一步求得p值；

（2）分斜率存在與不存在兩種情況，設(shè)過F的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理后，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）根據(jù)韋達(dá)定理可求得x1x2的值，又根據(jù)拋物線定義可知|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1代入可得其值．

（1）由題意可得，拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，由拋物線的定義得，即.故拋物線的方程為；

（2）易知焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，

若直線的斜率不存在，即直線方程為：，此時(shí)，

，

若直線的斜率存在，設(shè)直線方程為：，設(shè)，

由拋物線的定義可知：，

由得：，

由韋達(dá)定理得：，所以：

，

綜上可得：為定值.