Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC中點，又PA=AB=4，∠CDA=120°，點N在線段PB上，且PN= ．
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）求證：MN∥平面PDC；
（Ⅲ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（I）∵△ABC是正三角形，M是AC中點，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）在正△ABC中，BM=2 ．
在△ACD中，∵M為AC中點，DM⊥AC，∴AD=CD．
∠ADC=120°，∴ ，
∴ ．
在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=4 ，
∴ ，
∴ ，
∴MN∥PD．
又MN平面PDC，PD平面PDC，
∴MN∥平面PDC．
（Ⅲ）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴AB⊥AD，分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標系，
∴B（4，0，0），C ， ，P（0，0，4）．
由（Ⅱ）可知， 為平面PAC的法向量．
， ．
設平面PBC的一個法向量為 ，
則 ，即 ，
令z=3，得x=3， ，則平面PBC的一個法向量為 ，
設二面角A﹣PC﹣B的大小為θ，則 ．
所以二面角A﹣PC﹣B余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由正三角形的性質可得BD⊥AC，利用線面垂直的性質可知PA⊥BD，再利用線面垂直的判定定理即可證明BD⊥PC；（Ⅱ）利用已知條件分別求出BM、MD、PB，得到 ，即可得到MN∥PD，再利用線面平行的判定定理即可證明；（Ⅲ）通過建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角的平面角．