Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點.

（Ⅰ）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）點M在線段PC上，PM=tPC，試確定實數t的值，使PA∥平面MQB；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）60°.

【解析】試題分析：（Ⅰ）證明平面內的直線，垂直平面內兩條相交的直線，即可證明平面平面；（Ⅱ）連交于，由，可得∽ ，再由平面推出，即可求出的值；（Ⅲ）以為坐標原點，以， ， 所在的直線為， ， 軸，建立空間直角坐標系，分別求出求出平面與平面的一個法向量，利用向量的夾角公式即可求解.

試題解析：證明：（Ⅰ）連接BD.

因為AD=AB，∠BAD=60°，

所以△ABD為正三角形.

因為Q為AD的中點，

所以AD⊥BQ.

因為PA=PD，Q為AD中點，

所以AD⊥PQ.

又BQ∩PQ=Q，

所以AD⊥平面PQB.

因為，

所以平面PQB⊥平面PAD.

（Ⅱ）連接AC，交BQ于點N.

由AQ∥BC，可得△ANQ∽△CNB，

所以.

因為PA∥平面MQB， ，平面PAC∩平面MQB=MN，

所以PA∥MN.

所以，即，所以.

（Ⅲ）由PA=PD=AD=2，Q為AD的中點，則PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，

所以PQ⊥平面ABCD.

以Q為坐標原點，分別以QA，QB，QP所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標系，則A(1,0,0)， ，Q(0,0,0)， .， .

設平面MQB的法向量為n=(x,y,z)，

可得

因為PA∥MN，所以即

令z=1，則，y=0.

于是.

取平面ABCD的法向量m=(0,0,l)，

所以.

故二面角M-BQ-C的大小為60°.