Question

【題目】試比較3－與（n為正整數）的大小，并予以證明．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

利用作差法可得3－－＝，確定3－與的大小關系等價于比較與2n＋1的大小，利用數學歸納法證明即可.

證明：3－－＝，

于是確定3－與的大小關系等價于比較與2n＋1的大小．

由2＜2×1＋1，＜2×2＋1，＞2×3＋1，＞2×4＋1，＞2×5＋1，

可猜想當n≥3時，＞2n＋1，

證明如下：

ⅰ當n＝3時，由上可知顯然成立．

ⅱ假設當n＝k時，＞2k＋1成立．

那么，當n＝k＋1時，

＝2×＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1，

所以當n＝k＋1時猜想也成立，

綜合ⅰ和ⅱ，對一切n≥3的正整數，都有＞2n＋1．

所以當n＝1，2時，3－＜；

當n≥3時，3－＞（n為正整數）．