Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓方程為，P為橢圓上的動點，F₁、F₂為橢圓的兩焦點，當點P不在x軸上時，過F₁作∠F₁PF₂的外角平分線的垂線F₁M，垂足為M，當點P在x軸上時，定義M與P重合．

（Ⅰ）求M點的軌跡T的方程；

（Ⅱ）已知、，試探究是否存在這樣的點：是軌跡T內部的整點（平面內橫、縱坐標均為整數的點稱為整點），且△OEQ的面積？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）當點P不在x軸上時，延長F₁M與F₂P的延長線相交于點N,連結OM，

∵,  ∴≌ ∴M是線段的中點，|，

∴ = ==

∵點P在橢圓上

∴＝    ∴＝4，

當點P在x軸上時，M與P重合

∴M點的軌跡T的方程為：．

（Ⅱ）連結OE，易知軌跡T上有兩個點

A，B滿足,

分別過A、B作直線OE的兩條平行線、.

∵同底等高的兩個三角形的面積相等

∴符合條件的點均在直線、上.

∵   ∴直線、的方程分別為：

、

設點 （ ）∵在軌跡T內，∴

分別解與，得 與

∵∴為偶數，在上對應的

在上，對應的

∴滿足條件的點存在，共有6個，它們的坐標分別為：

．