Question

【題目】已知橢圓方程為，和分別是橢圓的左右焦點.

①若P是橢圓上的動點，延長到M，使，則M的軌跡是圓；

②若是橢圓上的動點，則；

③以焦點半徑為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切；

④點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點三角形的面積為

以上說法中，正確的有（ ）

A.①③④B.①③C.②③④D.③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用橢圓的定義，判斷①是否正確；利用橢圓的幾何性質，判斷②是否正確；根據兩個圓的位置關系，判斷③是否正確；利用橢圓的定義，結合余弦定理、三角形面積公式，計算出橢圓的焦點三角形的面積，由此判斷④是否正確.

對于①，根據橢圓的定義可知，所以，也即到的距離為定值，故的軌跡是圓，所以①正確.

對于②，當為左頂點時，，當為右頂點時，，所以，所以②錯誤.

對于③，以為直徑的圓，圓心為，半徑是.以長軸為直徑的圓，圓心為，半徑為.連接，則是三角形的中位線，由于，所以，即兩圓圓心角等于兩圓半徑之差，故兩個圓內切，故③正確.

對于④，設，依題意（*），由余弦定理得（**），而三角形的面積為（***），將（*）、（**）、（***）聯立化簡得，.故④正確.所以正確的為①③④.

故選：A.