Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且橢圓上的一點與兩個焦點構成的三角形周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與橢圓相交于兩點.

①若線段中點的橫坐標為，求的值；

②在軸上是否存在點，使為定值？若是，求點的坐標；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①,②.

【解析】分析：（1）先根據已知得到a,c的兩個方程，解方程即得橢圓的方程.(2) ①,先聯立直線與橢圓的方程得到韋達定理=2×，即得k的值. ②假設存在定點使得為定值，設點,先求，再分析得到，即得m的值.

詳解：（1）由題意得：① ，②，

由①②解得：，∴，

∴橢圓的方程為.

（2）由消去得，

，

設，則，

①∵線段的中點的橫坐標為，所以，即，

所以；

②假設存在定點使得為定值，設點，

所以

為定值，

即，故，

解得：，所以當時為定值，定值為.