Question

【題目】已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對稱點．

（1）若，證明：函數(shù)必有局部對稱點；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有局部對稱點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)在上有局部對稱點，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

試題分析：(1)利用題中所給的定義，通過二次函數(shù)的判別式大于0，證明二次函數(shù)有局部對稱點；(2)利用方程有解，通過換元，轉(zhuǎn)化為打鉤函數(shù)有解問題，利用函數(shù)的圖象，確定實數(shù)c的取值范圍；(3)利用方程有解，通過換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間有解，建立不等式組，通過解不等式組，求得實數(shù)的取值范圍.

試題解析：(1)由得=,代入得,

=,得到關(guān)于的方程=).

其中,由于且,所以恒成立,

所以函數(shù)=)必有局部對稱點.

(2)方程=在區(qū)間上有解,于是,

設(shè)),,,

其中，所以.

(3),由于,

所以=.

于是=(*)在上有解.

令),則,

所以方程(*)變?yōu)?/span>=在區(qū)間內(nèi)有解,

需滿足條件:.

即,，化簡得.