Question

【題目】已知函數.

（1）若關于的方程在區間上有解，求實數的取值范圍；

（2）若對恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) m的取值范圍是;(2)實數a的取值范圍是.

【解析】試題分析：（1）即求函數在區間上值域，先求導數，再求導函數零點，列表分析導數符號變化規律，確定單調性，進而根據單調性求值域，（2）先參變分離，轉化為求對應函數最值：的最小值，利用二次求導可得函數單調性，再根據單調性確定其最小值取法，最后根據最小值得實數的取值范圍.

試題解析：（1）方程即為.

令，則.

令，則（舍），.

當x∈[1， 3]時，隨x變化情況如表:

x	1				3
		＋	0	－
			極大值

∴當x∈[1，3]時，.

∴m的取值范圍是.

（2）據題意，得對恒成立.

令，

則.

令，則當x＞0時，，

∴函數在上遞增.

∵，

∴存在唯一的零點c∈（0，1），且當x∈（0，c）時，；當時，

.

∴當x∈（0，c）時，；當時，.

∴在（0，c）上遞減，在上遞增，從而.

由得，即，兩邊取對數得，

∴.

∴，即所求實數a的取值范圍是.