Question

已知函數f(x)=loga

2-x

2+x

，(a＞0，a≠1)．
（1）當a=3時，求函數f（x）在x∈[-1，1]上的最大值和最小值；
（2）求函數f（x）的定義域，并求函數g（x）=-ax²-（2x+4）a^f（x）+4的值域（用a表示）．

Answer 1

分析：（1）令u=

2-x

2+x

，變形得到該函數的單調性，求出其值域，再由f（x）=h（u）為增函數求得函數f（x）在x∈[-1，1]上的最大值和最小值；
（2）由函數的真數大于0求出函數f（x）的定義域，即g（x）的定義域，把f（x）的解析式代入g（x）后整理，化為關于x的二次函數，對a分類討論，由二次函數的單調性求最值．

解答：解：（1）令u=

2-x

2+x

=

4

x+2

-1，函數u在x∈[-1，1]上單調遞減，故u∈[

1

3

，3]，
故y=log₃u∈[-1，1]，即當x∈[-1，1]時，f（x）_max=1（在u=3，即x=-1時取得），
f（x）_min=-1（在u=

1

3

，即x=1時取得）；
（2）由

2-x

2+x

＞0?（2-x）（2+x）＞0，解得-2＜x＜2，
∴函數f（x）的定義域為（-2，2），
g（x））=-ax²-（2x+4）a^f（x）+4=-ax²-（2x+4）aloga

2-x

2+x

+4=-ax²+2x，x∈（-2，2），
因為a＞0且a≠1，故g（x）的開口向下，且對稱軸x=

1

a

＞0，
于是：①當

1

a

∈(0，2)，即a∈(

1

2

，1)∪(1，+∞)時，
g（x）的值域為(g(-2)，g(

1

a

)]=(-4(a+1)，

1

a

]；
②當

1

a

≥2，即a∈(0，

1

2

]時，g（x）的值域為（g（-2），g（2））=（-4（a+1），4（1-a））．
綜上，當a∈(

1

2

，1)∪(1，+∞)時，函數g（x）的值域為(-4(a+1)，

1

a

]；
當a∈(0，

1

2

]時，函數g（x）的值域為（-4（a+1），4（1-a））．

點評：本題考查了復合函數的單調性，考查了函數的值域，考查了分類討論的數學思想方法，訓練了利用對數的性質化簡函數解析式，訓練了利用二次函數的單調性求最值，屬中檔題．