Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，是等腰三角形，且.四邊形ABCD是直角梯形，，，，，.

（1）求證：平面PDC.

（2）請在圖中所給的五個點P，A，B，C，D中找出兩個點，使得這兩點所在直線與直線BC垂直，并給出證明.

（3）當平面平面ABCD時，求直線PC與平面PAB所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解答；（2），證明見解答；（3）.

【解析】

（1）由已知，即可證明結論；

（2）根據已知條件排除，只有可能與垂直，根據已知可證；

（3）利用垂直關系，建立空間直角坐標系，求出坐標和平面PAB的法向量，即可求解.

（1）平面平面，

平面；

（2），證明如下：

取中點，連，

，

，，

平面平面，

平面，；

（3）平面平面ABCD，平面平面ABCD，

平面平面，

.四邊形ABCD是直角梯形，，，，

，，

以為坐標原點，以，過點與平行的直線分別為軸，

建立空間直角坐標系，則，

，

設平面的法向量為，

則，即，

，令，則，

平面一個法向量為，

設直線PC與平面PAB所成角為，

，

直線直線PC與平面PAB所成角的正弦值為.