Question

【題目】在三棱錐中，，，，，則三棱錐外接球的體積的最小值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

由三角形全等可得∠ABD＝∠ACD＝90°，故而AD為棱錐外接球的直徑，根據勾股定理得出AD關于AB的函數，求出AD的最小值即可得出答案．

∵AB＝AC，DB＝DC，AD為公共邊，

∴△ABD≌△ACD，

又AB⊥BD，即∠ABD＝90°，∴∠ACD＝90°，

設AD的中點為O，則OA＝OB＝OD＝OC，

∴O為棱錐A﹣BCD的外接球的球心．

∵AB+BD＝4，∴AD2＝AB2+（4﹣AB）2＝2AB2﹣8AB+16＝2（AB﹣2）2+8，

∴當AB＝2時，AD2取得最小值8，即AD的最小值為2，

∴棱錐外接球的最小半徑為AD，

∴外接球的最小體積為V．

故選：C．