Question

【題目】已知橢圓：過點，且以，為焦點，橢圓的離心率為.

（1）求實數的值；

（2）過左焦點的直線與橢圓相交于、兩點，為坐標原點，問橢圓上是否存在點，使線段和線段相互平分?若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）1；（2）存在使線段和相互平分，其坐標為，或.

【解析】

(1)根據橢圓過點,離心率以及,列方程組可得答案;

(2)假設存在點滿足題意,設出直線的方程,代入橢圓方程,根據韋達定理得到中點坐標,根據線段和線段相互平分,得到點的坐標,將點的坐標代入橢圓方程即可得到答案.

解：（1）橢圓方程為（）過點，

.

，為橢圓的焦點，橢圓的離心率為，

，.解得，，

.

（2）由（1）有橢圓的方程為，.

假設存在點滿足題意，且和相交于點.

則,,,

當直線與軸重合時，不滿足題意.

設直線的方程為，，.

聯立得，

，.

則，，

將代入有.

解得，，或，

故存在使線段和相互平分，其坐標為，或.