Question

【題目】已知函數f（x）= x3+ax2﹣bx（a，b∈R），若y=f（x）圖象上的點（1，﹣ ）處的切線斜率為﹣4，
（1）求f（x）的表達式．
（2）求y=f（x）在區間[﹣3，6]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= x3+ax2﹣bx，

∴f′（x）=x2+2ax﹣b，

∵y=f（x）圖象上的點（1，﹣ ）處的切線斜率為﹣4，

∴f′（1）=﹣4，f（1）=﹣ ，

∴1+2a﹣b=﹣4．①， +a﹣b=- ，即a﹣b+4=0．②

由①②解得a=﹣1，b=3，

∴f（x）= x3﹣x2﹣3x

（2）解：∵f（x）= x3﹣x2﹣3x．

∴f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1）．

令f′（x）=0，解得x=﹣1或3．

∴在x∈[﹣3，6]上，當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	﹣3	（﹣3，﹣1）	﹣1	（﹣1，3）	3	（3，6）	6
f′（x）		+	0	﹣	0	+
f（x）	﹣9	單調遞增↗	極大值	單調遞減↘	極小值﹣9	單調遞增↗	18

∴當x∈[﹣3，6]時，f（x）max=f（6）=18，

f（x）min=f（3）=f（﹣3）=﹣9

【解析】（1）根據導數的幾何意義，建立方程關系即可求f（x）的表達式．（2）求函數的導數，利用函數的單調性和最值與導數之間的關系，即可求y=f（x）在區間[﹣3，6]上的最值．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．