Question

【題目】[2018·滄州質檢]對于橢圓，有如下性質：若點是橢圓上的點，則橢圓在該點處的切線方程為．利用此結論解答下列問題．點是橢圓上的點，并且橢圓在點處的切線斜率為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若動點在直線上，經過點的直線，與橢圓相切，切點分別為，．求證：直線必經過一定點．

Answer 1

【答案】（1）（2）直線必經過一定點

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意結合所給的知識可得橢圓在點處的切線斜率為，則.且.據此解方程組可得橢圓的方程為；

(Ⅱ)設，，，切線，切線.由兩條切線都經過同一點可得直線的方程為.據此整理計算有.求解方程組可得直線必經過一定點.

試題解析：

（Ⅰ）∵橢圓在點處的切線方程為，

其斜率為，

∴.

又點在橢圓上，

∴.

解得，.

∴橢圓的方程為；

（Ⅱ）設，，，

則切線，切線.

∵都經過點，

∴，.

即直線的方程為.

又，

∴，

即.

令得

∴直線必經過一定點.