Question

設f(

x

)=

1

x

+2

x

．
（1）求f（x）的表達式．
（2）設函數g（x）=aχ-

1

x2

+f（x），則是否存在實數a，使得g（x）為奇函數？說明理由；
（3）解不等式f（x）-χ＞2．

Answer 1

分析：（1）把已知解析式中的

x

設為t，解出x后代入即可確定出f（x）的解析式；
（2）把求出的f（x）的解析式代入到g（x）中確定出g（x）的解析式，求出g（x）的定義域，求出g（1）的值，由于g（-1）不存在，進而不存在實數a使得g（x）為奇函數；
（3）把f（x）的解析式代入到不等式中，因式分解后，根據x大于0和圖形即可得到原不等式的解集．

解答：解：（1）由f(

x

)=

1

x

+2

x

，設

x

=t，解得x=t²（t＞0），
把x=t²代入得：f（t）=

1

t2

+2t，即f（x）=

1

x2

+2x（x＞0）；
（2）∵g（x）=ax²-

1

x2

+f（x）=ax²+2x，定義域為（0，+∞），
∵g（1）=2+a，而g（-1）不存在，
∴g（1）≠-g（-1），即不存在實數a使得g（x）為奇函數；
（3）∵f（x）-x＞2，即

1

x2

+x-2＞0，
去分母得：x³-2x²+1＞0，即（x³-x²）-（x²-1）＞0，
因式分解得：（x-1）（x²-x-1）＞0，
即（x-1）（x-

1+ 5

2

）（x-

1- 5

2

）＞0，

∴結合x＞0和圖形得：0＜x＜1或x＞

1+ 5

2

．
因此原不等式的解集為{x|0＜x＜1或x＞

5 -1

2

}．

點評：此題考查學生掌握函數解析式的求法及奇函數的性質，考查了數形結合的數學思想的運用，是一道中檔題．