Question

一組數(shù)據(jù)4，7，10，s，t的平均數(shù)是7，n是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，設(shè)f(x)=(

1

x

-x2)n．
（1）求f（x）的展開式中x^-1的項(xiàng)的系數(shù)；
（2）求f（x）的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得s+t=14，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是7可求得n=7；
（2）f（x）的展開式中共8項(xiàng)，其中第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，從而可求得最大項(xiàng)與最小項(xiàng)．

解答：解：（1）依題意有：

4+7+10+s+t

5

=7得：s+t=14，
不妨設(shè)s≥t，則s≥7，t≤7，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是7，故n=7，
f（x）的展開式中T_k+1=

C

k 7

（x^-1）^7-k（-x²）^k=

C

k 7

（-1）^kx^3k-7，
3k-7=-1⇒k=2，
故展開式中x^-1的項(xiàng)的系數(shù)為

C

2 7

（-1）²=21-------（6分）
（2）f（x）的展開式中共8項(xiàng)，其中第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
而第5項(xiàng)的系數(shù)等于第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)，故第5項(xiàng)的系數(shù)最大，
即最大項(xiàng)為T₅=

C

4 7

(x-1)3(-x2)4=35x⁵，
第4項(xiàng)的系數(shù)等于第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的相反數(shù)，故第4項(xiàng)的系數(shù)最小，
即最小項(xiàng)為T₄=

C

3 7

(x-1)4(-x2)3=-35x²----（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理，考查眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，求得n=7是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于難題．