Question

設f(x)=

1

x+2

+1g

1-x

1+x

（Ⅰ）證明f（x）在（-1，1）上是減函數；
（Ⅱ）若f（x）的反函數為f^-1（x），試證明方程f^-1（x）=0只有唯一解；
（Ⅲ）解關于x的不等式：f[x(x-

1

2

)]＜

1

2

．

Answer 1

分析：（I）令分母不為0且真數大于0求出函數的定義域；利用導數的運算法則求出導函數，判斷出導函數的符號，得證．
（II）根據互為反函數的單調性相同，得到f^-1（x）遞減；求出f（0）的值，得到反函數有根，據單調證得根唯一．
（III）將

1

2

用f（0）代替，利用f（x）的單調性去掉法則f，注意定義域；解二次不等式組求出解集．

解答：證明：（I）f（x）在（-1，1）上遞減
函數的定義域為

x+2≠0 1-x 1+x ＞0

解得x∈（-1，1）
∵f′(x)=-

1

(x+2)2

-

2

1-x2

ln10＜0
∴f（x）在（-1，1）上遞減
（II）∵f（x）與f^-1（x）的單調性相同
∴f^-1（x）在定義域上遞減
∵f(0)=

1

2

∴f-1(

1

2

)=0
∴f^-1（x）=0有解，且唯一
（III）原不等式同解于f[x(x-

1

2

)]＜f(0)
∵f（x）在（-1，1）上遞減
∴

-1＜x(x- 1 2 )＜1 x(x- 1 2 )＞0

解得

1

2

＜x＜

1+ 17

4

或

1- 17

4

＜x＜0
∴解集為{x|

1

2

＜x＜

1+ 17

4

或

1- 17

4

＜x＜0}．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．解抽象不等式應先將不等式化為f（m）＞f（n）（f（m）＜f（n））的形式．屬于基礎題．