Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右焦點為F₁，F₂，（1，

3

2

）為橢圓上一點，橢圓的長半軸長等于焦距，曲線C是以坐標原點為頂點，以F₂為焦點的拋物線，自F₁引直線交曲線C于P，Q兩個不同的交點，點P關于x軸的對稱點記為M，設

F1P

=λ

F1Q

．
（1）求橢圓方程和拋物線方程；
（2）證明：

F2M

=-λ

F2Q

；
（3）若λ∈[2，3]，求|PQ|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由橢圓、拋物線的標準方程，列方程求解；（2）因為

F1P

=λ

F1Q

，所以y₁=λy₂，要證

F2M

=-λ

F2Q

，只需證明
x₁-1═-λ（x₂-1）由直線和拋物線聯立可得x₁x₂=1，故只需證明x₁=λ，x₂=

1

λ

，這個結論由聯立式和向量式可得；（3）只需將|PQ|表示為關于λ的函數，求函數最值即可．

解答：解：（1）依題意，

1 a2 + 9 4 b2 =1 a=2c

，又a²=b²+c²，解得

a2=4 b2=3

，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1
∵F₂（1，0），設拋物線方程為y²=2px，則

p

2

=1，p=2，故拋物線方程為y²=4x
（2）∵F₁（-1，0），設過此點的直線方程為y=kx+k，并設p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則M（x₁，-y₁）
由

y=kx+k y2=4x

得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，△＞0時，x₁x₂=1 （1）
又∵

F1P

=λ

F1Q

，∴x₁+1=λ（x₂+1）（2），y₁=λy₂
由（1）（2）得，x₁=λ，x₂=

1

λ

F2M

=（x₁-1，-y₁）=（λ-1，-y₁）
-λ

F2Q

=-λ（x₂-1，y₂）=（λ-1，-λy₂）
故

F2M

=-λ

F2Q

（3）由（2）知 可取 P（λ，

4λ

），Q（

1

λ

，

4 λ

），則|PQ|=

(λ- 1 λ )2+( 4λ - 4 λ )2

=

(λ+ 1 λ )2+4(λ+ 1 λ )-12

∵λ∈[2，3]，∴λ+

1

λ

∈[

5

2

，

10

3

]，∴|PQ|∈（ 

( 5 2 )2+4( 5 2 ) -12

，

( 10 3 )2+4( 10 3 )-12

）
故|PQ|∈（

17

4

，

112

9

）

點評：此題綜合考查了橢圓、拋物線的標準方程，直線與拋物線的關系，特別是與向量的結合，是問題具有一定難度．