Question

如果(3x-

1

3 x2

)n的展開式中各項系數之和為128，在展開式中任取一項，設所取項為有理項的概率為p，則

∫

1 0

xpdx=（　　）

• A、

  3

  8

• B、

  8

  3

• C、

  8

  11

• D、

  7

  10

Answer 1

分析：先根據各項系數之和為128求出n；再求出其展開式的通項，得到哪些項為有理項，進而求出p；再求出原函數即可得到答案．

解答：解：令x=1得，（3-1）ⁿ=128⇒2ⁿ=128⇒n=7．
∴(3x-

1

3 x2

)n的展開式的通項為：T_r+1=

C

r 7

（3x）^7-r•(-

1

3 x2

)r=（-1）^r•3^7-r•

C

r 7

•x7-

5r

3

；
當r=0，3，6時，展開式為有理項；
∴p=

3

8

；
而（

8

11

•x

11

8

）′=x

3

8

；
∴

∫

1 0

xpdx=

8

11

•x

11

8

|

1 0

=

8

11

．
故選：C

點評：本題主要考察二項式系數的性質以及定積分．是對基礎知識的綜合考察，屬于基礎題目，解決本題的關鍵在于熟練掌握展開式的通項．