Question

已知兩直線l₁：mx+8y+n=0和l₂：2x+my-1=0，
（1）若l₁與l₂交于點p（m，-1），求m，n的值；
（2）若l₁∥l₂，試確定m，n需要滿足的條件；
（3）若l₁⊥l₂，試確定m，n需要滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）將點P（m，-1）代入兩直線方程，解出m和n的值．
（2）由 l₁∥l₂ 得斜率相等，求出 m 值，再把直線可能重合的情況排除．
（3）先檢驗斜率不存在的情況，當斜率存在時，看斜率之積是否等于1，從而得到結論．

解答：解：（1）將點P（m，-1）代入兩直線方程得：m²-8+n=0 和 2m-m-1=0，
解得 m=1，n=7．
（2）由 l₁∥l₂ 得：m²-8×2=0，m=±4，
又兩直線不能重合，所以有 8×（-1）-mn≠0，對應得 n≠2m，
所以當 m=4，n≠-2 或 m=-4，n≠2 時，l₁∥l₂．
（3）當m=0時直線l₁：y=-

n

8

和 l₂：x=

1

2

，此時，l₁⊥l₂，
當m≠0時此時兩直線的斜率之積等于

1

4

，顯然 l₁與l₂不垂直，
所以當m=0，n∈R時直線 l₁ 和 l₂垂直．

點評：本題考查兩直線平行、垂直的性質，兩直線平行，斜率相等，兩直線垂直，斜率之積等于-1，注意斜率相等的兩直線可能重合，要進行排除．