Question

【題目】已知函數f0（x）= （x＞0），設fn（x）為fn﹣1（x）的導數，n∈N* ．
（1）求2f1（ ）+ f2（ ）的值；
（2）證明：對任意n∈N* ， 等式|nfn﹣1（ ）+ fn（ ）|= 都成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f0（x）= ，∴xf0（x）=sinx，

則兩邊求導，[xf0（x）]′=（sinx）′，

∵fn（x）為fn﹣1（x）的導數，n∈N*，

∴f0（x）+xf1（x）=cosx，

兩邊再同時求導得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，

將x= 代入上式得，2f1（ ）+ f2（ ）=﹣1

（2）證明：由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+ ），

恒成立兩邊再同時求導得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），

再對上式兩邊同時求導得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+ ），

同理可得，兩邊再同時求導得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），

猜想得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+ ）對任意n∈N*恒成立，

下面用數學歸納法進行證明等式成立：

①當n=1時， 成立，則上式成立；

②假設n=k（k＞1且k∈N*）時等式成立，即 ，

∵[kfk﹣1（x）+xfk（x）]′=kfk﹣1′（x）+fk（x）+xfk′（x）

=（k+1）fk（x）+xfk+1（x）

又

= = = ，

∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）時．等式 也成立，

由①②得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+ ）對任意n∈N*恒成立，

令x= 代入上式得，nfn﹣1（ ）+ fn（ ）=sin（ + ）=±cos =± ，

所以，對任意n∈N*，等式|nfn﹣1（ ）+ fn（ ）|= 都成立

【解析】（1）由于求兩個函數的相除的導數比較麻煩，根據條件和結論先將原函數化為：xf0（x）=sinx，然后兩邊求導后根據條件兩邊再求導得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x= 代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再對所得的式子兩邊再求導，并利用誘導公式對所得式子進行化簡、歸納，再進行猜想得到等式，用數學歸納法進行證明等式成立，主要利用假設的條件、誘導公式、求導公式以及題意進行證明，最后再把x= 代入所給的式子求解驗證．
【考點精析】本題主要考查了基本求導法則的相關知識點，需要掌握若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導才能正確解答此題．