Question

【題目】如圖，四棱錐的底面為矩形，平面平面，點在線段上，且平面.

（1）求證：平面；

（2）若點是線段上靠近的三等分點，點在線段上，且平面，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】

（1）證明AS垂直面SBC內的兩條相交直線BC、BE，即可證得結論；

（2）取N，O分別為AB，AS的三等分點，且NOSB，連結ON，OM，利用面面平行證得線面平行，再利用勾股定理，即可得答案.

（1）∵平面SAB平面ABCD，面SAB面ABCDAB，BCAB，BC面ABCD，

∴BC面SAB，又AS面SAB，∴ASBC.

∵BE面SAC，AS面SAC，

∴ASBE，又BCBEB，

∴AS面SBC.

（2）取N，O分別為AB，AS的三等分點，且NOSB，連結ON，OM，

∵ONSB，ON面SBC，SB面SBC，

∴ON面SBC，同理OM面SBC，

∵OM，ON面OMN，OMONO，

∴面OMN面SBC，

∵MN面OMN，∴MN面SBC.

由（1）得：OMON，

∴在直角三角形OMN中，ON1，OM4，

∴.