Question

（2010•鄭州三模）某種項目的射擊比賽，開始時在距目標100m處射擊，如果命中記6分，且停止射擊；若第一次射擊未命中，可以進行第二次射擊，但目標已經在150m處，這時命中記3分，且停止射擊；若第二次仍未命中，還可以進行第三次射擊，此時目標已經在200m處，若第三次命中則記1分，并停止射擊；若三次都未命中，則記0分，且不再繼續射擊．已知射手甲在100m處擊中目標的概率為

1

2

，他的命中率與其距目標距離的平方成反比，且各次射擊是否擊中目標是相互獨立的．
（Ⅰ）分別求這名射手在150m處、200m處的命中率；
（Ⅱ）求這名射手停止射擊時已擊中目標的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意，這名選手距目標xm處的命中率Px=

k

x2

，根據P100=

1

2

，求得k=5000．由此求得這名射手在150m處、200m處的命中率．
（2）記100m，150m，200m處命中目標分別為事件A，B，C，由（1）知P=P（A+

.

A

•B+

.

A

•

.

B

•C），運算求得結果．

解答：解：（1）由題意，這名選手距目標xm處的命中率Px=

k

x2

，∵P100=

1

2

，∴k=5000．
故P150=

5000

1502

=

2

9

，P200=

5000

2002

=

1

8

．
即這名射手在150m處、200m處的命中率分別為

2

9

，

1

8

．    （6分）
（2）記100m，150m，200m處命中目標分別為事件A，B，C，
由（1）知P=P（A+

.

A

•B+

.

A

•

.

B

•C）=

1

2

+

1

2

×

2

9

+

1

2

×

7

9

×

1

8

=

95

144

．    （12分）

點評：本題主要考查用待定系數法求函數的解析式，相互獨立事件的概率乘法公式的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．