Question

(本小題滿分12分)橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，過F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點. 1）若點A在圓（c為橢圓的半焦距）上，且|F₁A|=c，求橢圓的離心率；2）若函數的圖象，無論m為何值時恒過定點（b，a），求的取值范圍。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  

解析:

1）∵點A在圓，

   

    由橢圓的定義知：|AF₁|+|AF₂|=2a， 

    ………………………………5分

2）∵函數 

∴   點F₁（－1，0），F₂（1，0）， 

   ①若，

    ∴ …………7分

   ②若AB與x軸不垂直，設直線AB的斜率為k，則AB的方程為y=k（x+1）

    由…………（*）

    方程（*）有兩個不同的實根.

    設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程（*）的兩個根

     ………………9分

     

   

     

    ………………11分

    由①②知 ………………………………12分