Question

已知函數f(x)=

-x3+x2+bx+c，x＜1 -x2+ax+3 ，&x≥1

的圖象經過原點，且在x=-1處的切線斜率為-5．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求函數在區間[-1，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為函數f（x）的圖象過原點，所以f（0）=0即c=0，利用導數的幾何意義，根據斜率即可求出bc的值
（Ⅱ）求出函數的導數，根據導數求出函數的極值，再根據端點求出函數的端點值，比較即可得出函數的最值．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）的圖象過原點，
∴f（0）=0即c=0，
∵函數f（x）在x=-1處的切線斜率為-5即f'（-1）=-5，
∴b=0．
（Ⅱ）x∈[-1，1）時，f（x）=-x³+x²，f'（x）=-3x²+2x，
令f'（x）=0，則x=0，

2

3

，f（-1）=2，f（0）=0，f(

2

3

)=

4

27

，f（1）=0，
∴f_max（x）=2；x∈[1，2]時，f(x)=-x2+ax+3=-(x-

a

2

)2+

a2

4

+3，
當

a

2

≤1即a≤2時，f_max（x）=a+2，
當1＜

a

2

＜2即2＜a＜4時，fmax(x)=

a2

4

+3，
當

a

2

≥2即a≥4時，f_max（x）=2a-1；
當a≤2時，
若a+2≥2即a≥0時，f_max（x）=a+2，
若a+2＜2即a＜0時，f_max（x）=2，
綜上，函數f（x）在區間[-1，2]上的最大值為fmax(x)=

2，a＜0 a+2 ，&2≥a≥0 a2 4 +3，2＜a＜4 2a-1 ，&a≥4

點評：會求函數的導數，利用導數的幾何意義，在要討論a的取值范圍，最后不要忘了綜上所述．