Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3x2+1．

（1）求f（x）在x＝1處的切線方程；

（2）求f（x）的極值；

（3）若方程f（x）＝a+2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a．

Answer 1

【答案】（1）3x+y﹣2＝0； （2）極大值為1，極小值﹣3； （3）﹣1或﹣5

【解析】

（1）求出，進(jìn)而求出，即可求出切線的點(diǎn)斜式方程；

（2）令，求出方程的解，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出結(jié)論；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論做出的圖像，轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，即可求出結(jié)論.

解：（1）＝3x2﹣6x，∴＝312﹣61＝﹣3，

而f（1）＝13﹣312+1＝﹣1，

∴f（x）在x＝1處的切線方程：y+1＝﹣3（x﹣1），即3x+y﹣2＝0；

所以f（x）在x＝1處的切線方程：3x+y﹣2＝0；

（2），由（1）得，f'（x）＝0，x＝0，或x＝2，

x∈（﹣∞，0）和（2，+∞），f'（x）＞0，x∈（0，2），f'（x）＜0，

即的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，

所以極大值f（0）＝1，極小值f（2）＝﹣3，

所以函數(shù)的極大值為1，極小值﹣3；

（3）方程f（x）＝a+2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

即與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，

做出函數(shù)如下圖所示，

當(dāng)或，即或時(shí)，

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.