Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.
（Ⅰ）證明PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；
（Ⅲ）設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

Answer 1

（1）見解析
（2）
（3）

解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以
(2) ,設平面PCD的法向量，
則,即.不防設，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
（3）設點E的坐標為（0,0，h），其中，由此得.
由，故 
所以，，解得，即.
解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點H，連接DH.由,,可得.
因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，
因此所以二面角的正弦值為.
（3）如圖，因為，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設交點為F，連接BE，EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,
可得.由余弦定理，,
所以.
【考點定位】本小題主要考查空間兩條直線的位置關系、二面角、異面直線所成德角、直線與平面垂直等基礎知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.試題從命題的角度來看，整體上題目與我們平時練習的試題相似，但底面是非特殊的四邊形，一直線垂直于底面的四棱錐問題，那么創新的地方就是第三問中點E的位置是不確定的，需要學生根據已知條件進行確定，如此說來就有難度，因此最好使用空間直角坐標系解決該問題為好