Question

【題目】已知點A（1， ）在橢圓E： =1上，若斜率為 的直線l與橢圓E交于B，C兩點，當△ABC的面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：設直線l的方程為y= x+m，設B（x1 ， y1），C（x2 ， y2），
由 ，消去y，整理得4x2+2 mx+m2﹣4=0，
則△=8m2﹣16（m2﹣4）=8（8﹣m2）＞0，解得：0≤m2＜8，
由韋達定理可知：x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
由弦長公式可知：丨BC丨= = ，
又點A到l的距離為d= = ，
故S△ABC= 丨BC丨d= = ≤ = ，
當且僅當 m2=8﹣m2 ， 即m=±2時取等號，此時滿足0≤m2＜8，
故直線l的方程為y= x±2．
【解析】由題意可知：設直線l的方程為y= x+m，代入橢圓方程，由△＞0，求得0≤m2＜8，根據韋達定理及弦長公式求得丨BC丨，由點到直線的距離公式點A到l的距離為d，再利用三角形的面積公式求得S△ABC= 丨BC丨d，利用基本不等式的性質即可求得△ABC的面積最大值時，m的取值，即可求得直線l的方程．