Question

【題目】如圖，在中，，，，E，F分別為，的中點,是由繞直線旋轉得到，連結，，.

（1）證明：平面；

（2）若與平面所成的角為60°，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）要證平面，則證和；證由平面幾何知識可得，證，只需證，即證平面，利用線面垂直判定可得.

（2）建立空間直角坐標系，根據與平面所成的角為60°，可知為等邊三角形，分別計算平面、平面的一個法向量，然后根據向量的夾角公式，可得結果.

解法一：

（1）因為由沿旋轉得到，且E為中點，

所以.所以

又因為F為的中點，所以，

又，所以，

從而，又，所以平面，

即平面，又平面，所以，

又且，所以平面

（2）由（1）得平面，因為平面，

所以平面平面

過點P作，交于M

又平面平面，故平面，

所以為與平面所成的角，

所以，

又，所以為等邊三角形，

得M為中點，由平面，

分別以，為x，y軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

，，，，

，，

易得平面的一個法向量為，

，

設為平面的一個法向量，則：

，即，

令，得，

又因為二面角的大小為鈍角，

故二面角的余弦值為

解法二：

（1）因為由沿旋轉得到，所以，

又因為E為的中點，所以.

所以，即，

同理，，得，

又，所以平面

（2）由（1）得，又，

所以平面，又因為平面，

所以平面平面.

過點P作，垂足為M，

因為平面平面，所以平面，

所以為與平面所成的角，所以，

因為，所以為等邊三角形，所以M為中點，

取的中點N，連接，所以，所以平面，

分別以，，為x，y，z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

，，，，

，，

易得平面的一個法向量為，

，

設為平面的一個法向量，則：

，即，

令，得，

又因為二面角的大小為鈍角，

故二面角的余弦值為