Question

【題目】已知函數.

（1）若是函數的極值點，求a的值；

（2）當時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

（1）求出函數的導數，根據極值的定義，得到關于a的方程，解出驗證即可；

（2）根據不等式的性質，問題轉化為只需證明，

令，對函數求導，然后判斷出函數的單調性，最后利用函數的單調性，結合零點存在原理進行求解即可.

解：（1），

由題意知 ，

又設

顯然當時，，因此函數是增函數，

而，所以當時，單調遞減，

當時，單調遞增，故是函數的極小值點，故符合題意；

（2）當時，對于時，有，

即，

故要證明，只需證明，

令，即只需證明

則有，

設

則顯然當時，，因此函數是增函數，

，

故存在，使得，即，

因此當時，單調遞減，

當時，單調遞增，

所以有

又，∴，

設

則

單調遞減，

因此有

故，故

原不等式得證.