Question

如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，AA1＝AB＝2，BC＝3.

(1)求證：AB1∥平面BC1D；

(2)求四棱錐B－AA1C1D的體積．

 

Answer 1

（1）見解析（2）3

【解析】(1)證明：如圖，連接B1C，設(shè)B1C與BC1相交于點(diǎn)O，連接OD，

∵四邊形BCC1B1是平行四邊形，

∴點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)．

∵D為AC的中點(diǎn)，∴OD為△AB1C的中位線，

∴OD∥AB1，

∵OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.

(2)∵AA1⊥平面ABC，AA1?平面AA1C1C，

∴平面ABC⊥平面AA1C1C，

作BE⊥AC，垂足為E，則BE⊥平面AA1C1C.

在Rt△ABC中，AC＝，BE＝＝，

∴四棱錐B－AA1C1D的體積V＝× (A1C1＋AD)·AA1·BE＝××2×＝3.