Question

（2013•虹口區一模）如果函數y=f（x）的定義域為R，對于定義域內的任意x，存在實數a使得f（x+a）=f（-x）成立，則稱此函數具有“P（a）性質”．
（1）判斷函數y=sinx是否具有“P（a）性質”，若具有“P（a）性質”求出所有a的值；若不具有“P（a）性質”，請說明理由．
（2）已知y=f（x）具有“P（0）性質”，且當x≤0時f（x）=（x+m）²，求y=f（x）在[0，1]上的最大值．
（3）設函數y=g（x）具有“P（±1）性質”，且當-

1

2

≤x≤

1

2

時，g（x）=|x|．若y=g（x）與y=mx交點個數為2013個，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意先檢驗sin（x+a）=sin（-x）是否成立即可檢驗y=sinx是否具有“P（a）性質”
（2）由y=f（x）具有“P（0）性質可得f（x）=f（-x），結合x≤0時的函數解析式可求x≥0的函數解析式，結合m的范圍判斷函數y=f（x）在[0，1]上的單調性即可求解函數的最值
（3）由題意可得g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），據此遞推關系可推斷函數y=g（x）的周期，根據交點周期性出現的規律即可求解滿足條件的m

解答：解：（1）由sin（x+a）=sin（-x）得sin（x+a）=-sinx，
根據誘導公式得a=2kπ+π（k∈Z）．
∴y=sinx具有“P（a）性質”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．…（4分）
（2）∵y=f（x）具有“P（0）性質”，
∴f（x）=f（-x）．
設x≥0，則-x≤0，∴f（x）=f（-x）=（-x+m）²=（x-m）²
∴f(x)=

(x+m)2&x≤0 (x-m)2&x≥0

…（6分）
當m≤0時，∵y=f（x）在[0，1]遞增，
∴x=1時ymax=(1-m)2
當0＜m＜

1

2

時，y=f（x）在[0，m]上遞減，在[m，1]上遞增，且f（0）=m²＜f（1）=（1-m）²，
∴x=1時ymax=(1-m)2
當m≥

1

2

時，
∵y=f（x）在[0，m]上遞減，在[m，1]上遞增，且f（0）=m²≥f（1）=（1-m）²，
∴x=0時ymax=m2
綜上所述：當m＜

1

2

時，ymax=f(1)=(1-m)2；
當m≥

1

2

時，ymax=f(0)=m2…（11分）
（3）∵y=g（x）具有“P（±1）性質”，
∴g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），
∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（-1-x）=g（x），從而得到y=g（x）是以2為周期的函數．
又設

1

2

≤x≤

3

2

，則-

1

2

≤1-x≤

1

2

，
g（x）=g（x-2）=g（-1+x-1）=g（-x+1）=|-x+1|=|x-1|=g（x-1）．
再設n-

1

2

≤x≤n+

1

2

（n∈z），
當n=2k（k∈z），2k-

1

2

≤x≤2k+

1

2

則-

1

2

≤x-2k≤

1

2

，
g（x）=g（x-2k）=|x-2k|=|x-n|；
當n=2k+1（k∈z），2k+1-

1

2

≤x≤2k+1+

1

2

則

1

2

≤x-2k≤

3

2

，
g（x）=g（x-2k）=|x-2k-1|=|x-n|；
∴對于，n-

1

2

≤x≤n+

1

2

（n∈z），都有g（x）=|x-n|，而n+1-

1

2

≤x+1≤n+1+

1

2

，
∴g（x+1）=|（x+1）-（n+1）|=|x-n|=g（x），
∴y=g（x）是周期為1的函數．
①當m＞0時，要使y=mx與y=g（x）有2013個交點，只要y=mx與y=g（x）在[0，1006）有2012個交點，而在[1006，1007]有一個交點．
∴y=mx過（

2013

2

，

1

2

），從而得m=

1

2013

②當m＜0時，同理可得m=-

1

2013

③當m=0時，不合題意．
綜上所述m=±

1

2013

…（18分）

點評：本題考查周期函數，著重考查函數在一定條件下的恒成立問題與最值求解的相互轉化，綜合考察構造函數、分析轉化、分類討論的數學思想與方法，難度大，思維深刻，屬于難題