Question

【題目】如圖，已知點F為拋物線C：（）的焦點，過點F的動直線l與拋物線C交于M，N兩點，且當直線l的傾斜角為45°時，.

（1）求拋物線C的方程.

（2）試確定在x軸上是否存在點P，使得直線PM，PN關于x軸對稱？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在唯一的點，使直線PM，PN關于x軸對稱

【解析】

（1）當直線l的傾斜角為45°，則的斜率為1，則直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理可得，根據(jù)焦點弦公式，求出的值，即可得到拋物線方程.

（2）假設滿足條件的點P存在，設，當直線l不與x軸垂直時，設l的方程為（），聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，列出韋達定理，因為直線PM，PN關于x軸對稱，所以，即可求出的值. 當直線l與x軸垂直時，由拋物線的對稱性，易知PM，PN關于x軸對稱，此時只需P與焦點F不重合即可.

解：（1）當直線l的傾斜角為45°，則的斜率為1，

，的方程為.

由得.

設，，則，

∴，，

∴拋物線C的方程為.

（2）假設滿足條件的點P存在，設，由（1）知，

①當直線l不與x軸垂直時，設l的方程為（），

由得，

，

，.

∵直線PM，PN關于x軸對稱，

∴，，.

∴，

∴時，此時.

②當直線l與x軸垂直時，由拋物線的對稱性，

易知PM，PN關于x軸對稱，此時只需P與焦點F不重合即可.

綜上，存在唯一的點，使直線PM，PN關于x軸對稱.