Question

【題目】設(shè)l為曲線C：在點(diǎn)處的切線.

（1）求l的方程；

（2）證明：除切點(diǎn)之外，曲線C在直線l的下方；

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

設(shè)（），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知 ,即為曲線C：在點(diǎn)處的切線的斜率，代入點(diǎn)斜式即可求解；

構(gòu)造函數(shù)（），則除切點(diǎn)之外，曲線C在直線l的下方等價(jià)于（，）,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出時(shí),函數(shù)的最值即可.

設(shè)（），則（），

從而曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，

于是切線方程為，即，

因此直線l的方程為.

證明：令（），則

則除切點(diǎn)之外，曲線C在直線l的下方等價(jià)于（，）.

滿足，且（，）

當(dāng)時(shí)，，，從而，于是在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，，從而，于是在單調(diào)遞增.

因此函數(shù)有極小值即最小值.

所以函數(shù)對(duì)任意且恒成立,

即除切點(diǎn)之外，曲線C在直線l的下方.