Question

已知點F（0，1），一動圓過點F且與圓x²+（y+1）²=8內切，
（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（2）設點A（a，0），點P為曲線C上任一點，求點A到點P距離的最大值d（a）；
（3）在0＜a＜1的條件下，設△POA的面積為s₁（O是坐標原點，P是曲線C上橫坐標為a的點），以d（a）為邊長的正方形的面積為s₂．若正數m滿足，問m是否存在最小值，若存在，請求出此最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設圓心坐標為P（x，y），則動圓的半徑為r=，又動圓與x²+（y+1）²=8內切，故，由此能求出動圓圓心的軌跡C的方程．
（2）設P（x，y），則|PA|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2-2x²=-（x+a）²+2a²+2，令f（x）=-（x+a）²+2a²+2，x∈[-1，1]．再分類討論能夠推導出．
（3）當0＜a＜1時，P（），于是，S₂=2a²+2，若正數m滿足條件，則，
，令，設t=a²+1，則t∈（1，2），a²=t-1，于是=-4，由此能夠導出m存在最小值．
解答：解：（1）設圓心坐標為P（x，y），則動圓的半徑為r=，
又動圓與x²+（y+1）²=8內切，
∴，
整理得2x²+y²=2，
∴動圓圓心的軌跡C的方程為2x²+y²=2．
（2）設P（x，y），則
|PA|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2-2x²
=-x²-2ax+a²+2
=-（x+a）²+2a²+2，
令f（x）=-（x+a）²+2a²+2，x∈[-1，1]，
∴當-a＜-1，即a＞1時，f（x）在[-1，1]上是減函數，
[f（x）]_max=f（-1）=（a+1）²．
當-1≤-a≤1，即-1≤a≤1時，f（x）在[-1，-a]上是增函數，在[-a，1]上是減函數，
則[f（x）]_max=f（-a）=2a²+2．
當-a＞1，即a＜-1時，f（x）在[-1，1]上是增函數，
[f（x）]_max=f（1）=（a-1）²，
∴．
（3）當0＜a＜1時，P（），于是，S₂=2a²+2，
若正數m滿足條件，則，
即，
，令，
設t=a²+1，則t∈（1，2），a²=t-1，
于是==-4，
∴當，即時，，
即，∴m存在最小值．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．