Question

已知點F（0，1），直線l：y=-1，P為平面上的動點，點P到點F的距離等于點P到直線l的距離．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）已知圓M過定點D（0，2），圓心M在軌跡C上運動，且圓M與x軸交于A、B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析：（1）用拋物線的定義，求出動點的軌跡方程．
（2）設圓M的圓心坐標，利用半弦長、弦心距、半徑構成直角三角形，滿足勾股定理，以及圓心在軌跡C上，
求出弦長．

解答：解：（1）由題意知，點P的軌跡是頂點在原點，開口向上的拋物線，設其方程為x²=2py，
由

p

2

=1，解出p=2．即x²=4y，所以動點P的軌跡C的方程x²=4y．
（2）設圓M的圓心坐標為M（a，b），取AB的中點H．連接MH，BM．則a²=4b．
圓M的半徑為|MD|=

a2+(b-2)2

，|MH|=b．
|AB|=2|BH|=2

|MB|2-|MH|2

=2

a2+(b-2)2-b2

=2

a2-4b+4

=2

4b-4b+4

=4．  即|AB|=4．

點評：本題考查用定義法求動點的軌跡方程，直線和圓的位置關系，弦長公式的應用，屬于中檔題．