Question

已知點(diǎn)F（0，1），直線l：y=-1，P為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）已知圓M過定點(diǎn)D（0，2），圓心M在軌跡C上運(yùn)動，且圓M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)|DA|=l₁，|DB|=l₂，求

l1

l2

+

l2

l1

的最大值．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

整理即可得到動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）先利用條件設(shè)出圓的方程，并求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)以及|DA|=l₁，|DB|=l₂的表達(dá)式，代入

l1

l2

+

l2

l1

整理后利用基本不等式求最大值即可．

解答：（1）解：設(shè)P（x，y），則Q（x，-1），
∵

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，
∴（0，y+1）•（-x，2）=（x，y-1）•（x，-2）．
即2（y+1）=x²-2（y-1），即x²=4y，
所以動點(diǎn)P的軌跡C的方程x²=4y．
（2）解：設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為M（a，b），則a²=4b．①
圓M的半徑為|MD|=

a2+(b-2)2

．
圓M的方程為（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²．
令y=0，則（x-a）²+b²=a²+（b-2）²，
整理得，x²-2ax+4b-4=0．②
由①、②解得，x=a±2．
不妨設(shè)A（a-2，0），B（a+2，0），
∴l1=

(a-2)2+4

，l2=

(a+2)2+4

．
∴

l1

l2

+

l2

l1

=

l12+l22

l1l2

=

2a2+16

a4+64

=2

(a2+8)2 a4+64

=2

1+ 16a2 a4+64

，③
當(dāng)a≠0時，由③得，

l1

l2

+

l2

l1

=2

1+ 16 a2+ 64 a2

≤2

1+ 16 2×8

=2

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)a=±2

2

時，等號成立．
當(dāng)a=0時，由③得，

l1

l2

+

l2

l1

=2．
故當(dāng)a=±2

2

時，

l1

l2

+

l2

l1

的最大值為2

2

．

點(diǎn)評：本小題主要考查圓、拋物線、基本不等式等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力