Question

【題目】已知函數，.

（1）若函數在其定義域上為單調增函數，求的取值范圍；

（2）記的導函數為，當時，證明：存在極小值點，且.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】分析：（1）函數在上為單調增函數，等價于對任意恒成立，對任意恒成立，只需，，利用導數研究函數的單調性，利用單調性求出函數最大值，從而可得結果；（2）由（1）得，其中，，，

∵，∴與同號，令，，存在，使得，是的極小值點，.

詳解：（1）依題意函數的定義域為且函數在上為單調增函數，

所以 對任意恒成立，

∴對任意恒成立，

∴對任意恒成立，

∴，，

令，，

∴，

∴當時，，為增函數；當時，，為減函數，

∴當時，，

∴，即的取值范圍是.

（2）由（1）得，其中，，

∴，

∵，∴與同號，

令，，

∴ ，

∴當時，，即函數在上單調遞增，

∵，∴，，

∴存在，使得，

∴當時，，，是減函數，

∴當時，，，是增函數，

∴當時，存在，使是的極小值點.

又由得，

所以，，

所以.