Question

在三角形ABC中，AB=AC，點P為線段AB上一點，且

AP

=λ

AB

．
（Ⅰ）若

CP

=

3

4

CA

+

1

4

CB

，求λ的值；
（Ⅱ）若∠A=120°，且

CP

•

AB

＞4

AP

•

PB

，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：對第（Ⅰ）問，根據平面向量基本定理及已知條件

AP

=λ

AB

，將向量

CP

用向量

CA

，

CB

線性表示，再與向量

3

4

CA

+

1

4

CB

對比即可得λ的值；
對第（Ⅱ）問，由∠A=120°，可將

AB

，

AC

作為一組基底，從而

CP

，

AP

，

PB

都用基底表示，于是得到一個關于λ的不等式，結合此不等式的解和0≤λ≤1可知λ的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）

CP

=

CA

+

AP

=

CA

+λ

AB

=

CA

+λ(

CB

-

CA

)=(1-λ)

CA

+λ

CB

，
即

CP

=(1-λ)

CA

+λ

CB

，
由題設知

CP

=

3

4

CA

+

1

4

CB

，根據平面向量基本定理，有

1-λ= 3 4 λ= 1 4

，
∴λ=

1

4

．
（Ⅱ）設等腰三角形的腰長為a，則

CP

•

AB

=(

CA

+

AP

)•

AB

=

CA

•

AB

+

AP

•

AB

=|

CA

||

AB

|cos(180°-120°)+|

AP

||

AB

|=

1

2

a2+λa2，

AP

•

PB

=

AP

•(

AB

-

AP

)=

AP

•

AB

-

AP

2=λa2-λ2a2．
由

CP

•

AB

＞4

AP

•

PB

，得

1

2

a2+λa2＞4λa2-4λ2a2，
即8λ²-6λ+1＞0，解得λ＞

1

2

，或λ＜

1

4

．
又點P在線段AB上，所以0≤λ≤1，
故λ的取值范圍是[0，

1

4

)∪(

1

2

，1]．

點評：本題考查了平面向量的數量積運算，向量的加、減法運算，數乘運算，向量共線的充要條件及平面向量基本定理，涉及的知識點較多，關鍵是通過計算與變形，使所有向量均用一組基向量表示，從而建立了關于λ的不等式，最終達到了求解的目的．