Question

設e1．e2分別為具有公共焦點F₁與F₂的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點，且滿足

.

PF1

•

.

PF2

=0，則

1

e 2 1

+

1

e 2 2

的值為（　　）

• A、

  1

  2

• B、1
• C、2
• D、4

Answer 1

分析：橢圓的長半軸是a1，雙曲線的實半軸是a2，它們的半焦距是c并設PF₁=m，PF₂=n，m＞n，根據橢圓的和雙曲線的定義可得m+n=2a1，m-n=2a2，寫出兩個曲線的離心率，代入要求的式子得到結果．

解答：解：設橢圓的長半軸是a1，雙曲線的實半軸是a2，它們的半焦距是c
并設PF₁=m，PF₂=n，m＞n，根據橢圓的和雙曲線的定義可得
m+n=2a1
m-n=2a2
解得
m=a1+a2，n=a1-a2
又PF1⊥PF2，由勾股定理得
PF₁²+PF₂²=F₁F₂²
（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=（2c）²
化簡可得
a₁²+a₂²=2c²

1

e 2 1

+

1

e 2 2

=2
故選C．

點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，本題解題的關鍵是得到兩個曲線的參數之間的關系，本題是一個基礎題．