Question

設e₁，e₂分別為具有公共焦點F₁與F₂的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點，且滿足

PF1

•

PF2

=0，則

e 2 1 + e 2 2

(e1e2)2

的值為（　　）

• A、

  1

  2

• B、1
• C、2
• D、不確定

Answer 1

分析：設橢圓和雙曲線的方程為：

x2

m

+

y2

n

=1(m＞n＞0)和

x2

a

-

y2

b

=1(a＞0，b＞0)．由題設條件可知 |PF1|+|PF2|=2

m

，|PF1|-|PF2|=2

a

，結合

PF1

•

PF2

=0，由此可以求出

e 2 1 + e 2 2

(e1e2)2

的值．

解答：解：設橢圓和雙曲線的方程為：

x2

m

+

y2

n

=1(m＞n＞0)和

x2

a

-

y2

b

=1(a＞0，b＞0)．
∵|PF1|+|PF2|=2

m

，|PF1|-|PF2|=2

a

，
∴|PF1| =

m

+

a

，|PF2|=

m

-

a

，
∵滿足

PF1

•

PF2

=0，
∴△PF₁F₂是直角三角形，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²．
即m+a=2c²
則

e 2 1 + e 2 2

(e1e2)2

=

1

e 2 1

+

1

e 2 2

=

m

c 2

+

a

c2

=

m+a

c2

=2
故選C．

點評：本題綜合考查雙曲線和橢圓的性質，解題時注意不要把二者弄混了．