Question

（2008•鹽城一模）設e₁，e₂分別為具有公共焦點F₁與F₂的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點，且滿足

PF1

•

PF2

=0，則

e 2 1 + e 2 2

(e1e2)2

的值為

2

．

Answer 1

分析：根據題意，設它們共同的焦距為2c、橢圓的長軸長2a、雙曲線的實軸長為2m，由橢圓和雙曲線的定義及勾弦定理建立關于a、c、m的方程，聯解可得a²+m²=2c²，再根據離心率的定義化簡整理即可得到

e 2 1 + e 2 2

(e1e2)2

的值．

解答：解：由題意設焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，
設P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF₁|-|PF₂|=2m  ①
由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2a  ②
又∵

PF1

•

PF2

=0∴

PF1

⊥

PF2

，可得∠F₁PF₂=90⁰，
故|PF₁|²+|PF₂|²=4c²   ③
①平方+②平方，得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
將④代入③，化簡得a²+m²=2c²，即

1 c 2

a2

+

1 c 2

m2

=2，可得

1

e12

+

1

e22

=2
因此，

e 2 1 + e 2 2

(e1e2)2

=

1

e12

+

1

e22

=2
故答案為：2

點評：本題給出雙曲線與橢圓有公共的焦點，在它們的一個交點對兩個焦點所成角為直角的情況下求它們離心率的平方倒數和．著重考查了橢圓和雙曲線的定義、標準方程、簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．