Question

給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=lnx-2+x在區(qū)間（1，e）上存在零點(diǎn)；
②若f′（x₀）=0，則函數(shù)y=f（x）在x=x₀處取得極值；
③若m≥-1，則函數(shù)y=log 

1

2

（x²-2x-m）的值域?yàn)镽；
④已知x₁是方程x+lgx=5的根，x₂是方程x+10^x=5的根，則x₁+x₂=5．
其中正確的序號(hào)是

①③④

．

Answer 1

分析：①利用零點(diǎn)存在定理判斷即可；
②舉例說(shuō)明，令f（x）=x³，f′（0）=0，判斷即可；
③令g（x）=x²-2x-m，依題意，方程x²-2x-m=0有實(shí)根，從而可求得m；
④利用y=lgx與y=10^x互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，判斷即可．

解答：解：①∵f（x）=lnx-2+x在（1，e）上連續(xù)不斷，且f（1）=-1＜0，f（e）=e-1＞0，
∴函數(shù)f（x）=lnx-2+x在區(qū)間（1，e）上存在零點(diǎn)，即①正確；
②不妨令f（x）=x³，則f′（x）=3x²≥0，
∴f（x）=x³在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值，而f′（0）=0，
∴②若f′（x₀）=0，則函數(shù)y=f（x）在x=x₀處取得極值，錯(cuò)誤；
③令g（x）=x²-2x-m，依題意，方程x²-2x-m=0有實(shí)根，
∴△=（-2）²-4×（-m）=4+4m≥0，
∴m≥-1，故③正確；
對(duì)于④，方程方程x+lgx=5和方程x+10^x=5的可化為方程lgx=5-x和方程10^x=5-x，
令f（x）=lgx，g（x）=10^x，y=5-x，畫圖：
顯然x₁是函數(shù)f（x）=lgx 與 y=5-x圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
x₂是函數(shù)g（x）=10^x與 y=5-x的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
由于函數(shù) f（x）=lgx與g（x）=10^x的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，直線y=5-x也關(guān)于y=x 對(duì)稱，且直線 y=5-x與它們都只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于y=x對(duì)稱．又因?yàn)閮蓚�(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)P是y=5-x與y=x 的交點(diǎn)，即P（

5

2

，

5

2

），
∴x₁+x₂=2×

5

2

=5，
∴④正確．
∴正確的序號(hào)是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查零點(diǎn)存在定理、極值的概念、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及反函數(shù)，屬于中檔題．