Question

（本小題滿分12分）

已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面⊥平面，△是正三角形， 、、分別是、、的中點(diǎn)．

（I）求證：平面；

（II）求平面與平面所成銳二面角的大小.

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：方法1：（I）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，

∴平面PAD，                                           

∵E、F為PA、PB的中點(diǎn)，

∴EF//AB，∴EF平面PAD；                                   …………（6分）

（II）解：過(guò)P作AD的垂線，垂足為O，

 

 

∵，則PO 平面ABCD．

取AO中點(diǎn)M，連OG，,EO,EM,

∵EF //AB//OG,

∴OG即為面EFG與面ABCD的交線…………（8分）

又EM//OP,則EM平面ABCD．且OGAO,

故OGEO  ∴ 即為所求       …………（10分）

 ，EM＝ＯＭ＝１ 

∴tan＝故 ＝              

∴平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小是   …………（12分）

方法2：（I）證明：過(guò)P作P O　AD于O，∵，

則PO 平面ABCD，連OG，以O(shè)G，OD，OP為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系，   ……（2分）

 

 

∵PA＝PD　，∴，

得，

， 　　　　 …………（4分）

故，

∵，

∴EF　平面PAD；                         …………（6分）

（II）解：，

設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為 

則， ，    …………（8分）

平面ABCD的一個(gè)法向量為……（10分）

平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值是：

，銳二面角的大小是；              …………（12分）

【解析】略