Question

【題目】已知定義域為R的函數f（x）= 是奇函數．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數的單調性并證明；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）為R上的奇函數，

所以f（0）=0，即 =0，解得b=1，

由f（﹣1）=﹣f（1），得 ，解得a=2，

所以a=2，b=1，

即有f（x）= 為奇函數，

故a=2，b=1

（2）解：f（x）為R上的減函數，證明如下：

由（1）知f（x）= =﹣ ，

設x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=（﹣ ）﹣（﹣ ）= ，

因為x1＜x2，所以 ＞0， ，2{x2+1＞0，

所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

所以f（x）為減函數

（3）解：因為f（x）為奇函數，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0可化為f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），

又由（2）知f（x）為減函數，所以t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t＞k恒成立，

而3t2﹣2t=3 ﹣ ，

所以k＜

【解析】（1）由f（x）為R上的奇函數得f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），解出方程可得a，b值；（2）由（1）知f（x）= =﹣ ，利用單調性定義可作出判斷；（3）由f（x）的奇偶性可得，f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等價于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），根據單調性可去掉符號“f”，轉化為函數最值解決即可；
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法和函數單調性的性質的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集才能正確解答此題．