Question

如圖，直角三角形ABC的頂點坐標A（-1，0），直角頂點B(0，-

3

)，頂點C在x軸上．
（1）求△ABC的外接圓M的方程；
（2）設直線?：y=

m2+1

m

x+

m2+1

m

，(m∈R，m≠0)，直線?能否與圓M相交？為什么？若能相交，直線?能否將圓M分割成弧長的比值為

1

2

的兩段��？為什么？

Answer 1

分析：（1）由A和B的坐標求出直線AB方程的斜率，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1，由AB與BC垂直，求出直線BC的斜率，由B的坐標和求出的斜率寫出直線BC的方程，令y=0求出x的值，確定出點C的坐標，求出斜邊AC的長即為外接圓的直徑，除以2可得圓的半徑，利用中點坐標公式求出A和C的中點坐標即為外接圓的圓心M的坐標，由求出的圓心M的坐標和半徑寫出三角形ABC的外接圓M的方程即可；
（2）把直線l的方程變形可得直線l恒過點A（-1，0），而A在圓周上，故存在直線l可能與圓相交；由基本不等式求出|k|的最小值，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，根據|k|的最小值得出d的最小值，發現d的最小值大于半徑的一半，從而圓M截直線l所得的弦所對的圓心角小于

2π

3

，故直線l不能將圓M分割成弧長的比值為

1

2

的兩段弧．

解答：解：（1）K_AB=

- 3 -0

0-(-1)

=-

3

，∴K_BC=

3

3

，
直線BC的方程是y+

3

=

3

3

x，，當y=0，得x=3，即點C（3，0），
所以，△ABC的外接圓M的圓心M（1，0），半徑r=2．
圓M的方程是（x-1）²+y²=4；

（2）直線l的方程可化為y=

m2+1

m

（x+1），令k=

m2+1

m

，
則l的方程為y=k（x+1），則直線l恒過圓M上的定點A（-1，0），
則直線l可能與圓相交．
因為|m|≤

1

2

（m²+1），所以|k|=

m2+1

|m|

≥2，，當且僅當|m|=1時等號成立．
圓心M（1，0）到直線l的距離d=

2|k|

1+k2

．（9分）
由|k|≥2，d=

2|k|

1+k2

=

2

1+ 1 k2

≥

4

5

，即d＞

r

2

．
從而圓M截直線l所得的弦所對的圓心角小于

2π

3

．
所以直線l不能將圓M分割成弧長的比值為

1

2

的兩段�。�（12分）

點評：此題考查了圓的標準方程，以及直線與圓的位置關系，涉及的知識有兩直線垂直時斜率滿足的關系，中點坐標公式，直線與坐標軸的交點，恒過定點的直線方程，點到直線的距離公式，以及基本不等式應用，直線與圓相交時，常常利用弦心距，弦的一半以及圓的半徑構造直角三角形來解決問題．