Question

【題目】已知圓內接△ABC中，D為BC上一點，且△ADC為正三角形，點E為BC的延長線上一點，AE為圓O的切線．
（1）求∠BAE 的度數；
（2）求證：

Answer 1

【答案】
（1）解：在△EAB與△ECA中，∵AE為圓O的切線，

∴∠EBA =∠EAC

又∠E公用，∴∠EAB =∠ECA

∵△ACD為等邊三角形，

∴

（2）證明：∵AE為圓O的切線，

∴∠ABD=∠CAE

∵△ACD為等邊三角形，

∴∠ADC =∠ACD，

∴∠ADB=∠ECA，

∴△ABD∽△EAC

∴ ，即

∵△ACD為等邊三角形，

∴AD=AC=CD，

∴

【解析】分析：本題主要考查了圓的切線的性質及判定定理，解決問題的關鍵是（1）在△EAB與△ECA中，因為AE為圓O的切線，所以∠EBA =∠EAC，∠EAB =∠ECA，因為△ACD為等邊三角形，所以 ；（2）容易證明△ABD∽△EAC ，所以 ，即 ，因為△ACD為等邊三角形，所以AD=AC=CD，所以