Question

【題目】某中醫藥研究所研制出一種新型抗癌藥物，服用后需要檢驗血液是否為陽性，現有份血液樣本每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗次；（2）混合檢驗，將其中份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若結果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只需檢驗一次就夠了；若檢驗結果為陽性，為了明確這份血液究竟哪份為陽性，就需要對這份再逐份檢驗，此時這份血液的檢驗次數總共為次假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果總陽性還是陰性都是相互獨立的，且每份樣本是陽性的概率為．

（1）假設有6份血液樣本，其中只有兩份樣本為陽性，若采取遂份檢驗的方式，求恰好經過兩次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率．

（2）現取其中的份血液樣本，記采用逐份檢驗的方式，樣本需要檢驗的次數為；采用混合檢驗的方式，樣本簡要檢驗的總次數為；

（ⅰ）若，試運用概率與統計的知識，求關于的函數關系，

（ⅱ）若，采用混合檢驗的方式需要檢驗的總次數的期望比逐份檢驗的總次數的期望少，求的最大值（，，，，，）

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）．（ⅱ）8

【解析】

（1）利用古典概型的概率求出恰好經過兩次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；

（2）（ⅰ）先求出，再化簡即得解；（ⅱ）由，得到，再利用導數解不等式得解.

（1）設“恰好經過兩次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來”為事件，則

，

即恰好經過兩次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的事件的概率為．

（2）（ⅰ）由題意知，取值的可能有1，，

，

，

所以，

由，得，即，所以，

所以關于的函數關系．

（ⅱ）由題意知，，所以，即，

所以，又，所以，

兩邊同時取對數，得，即，

設，則，易知函數在上單調遞減，

，，

所以的最大值為8．