Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，焦距為2c；若以F₂為圓心，b-c為半徑作圓F₂，過橢圓上任一點P（x₀，y₀）作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于

3

2

（a-c）．
（Ⅰ）證明：|PF₂|的最小值為a-c；
（Ⅱ）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（Ⅲ）若橢圓的短半軸長為1，圓F₂與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為2的直線l與橢圓交于A、B兩點，若OA⊥OB，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓上任一點Q的坐標為（x₀，y₀），根據Q點到右準線的距離和橢圓的第二定義，求得x₀的范圍，進而求得橢圓上的點到點F₂的最短距離；
（Ⅱ）可先表示出|PT|，進而可知當且僅當|PF₂|取得最小值時，|PT|取得最小值，從而可求橢圓的離心率e的取值范圍；
（Ⅲ）直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理，及OA⊥OB，即可求出橢圓的方程．

解答：（Ⅰ）證明：設橢圓上任一點Q的坐標為（x₀，y₀），
Q點到右準線的距離為d=

a2

c

-x₀，
則由橢圓的第二定義知：

|QF2|

d

=

c

a

，
∴|QF₂|=a-

c

a

x₀，又-a≤x₀≤a，
∴當x₀=a時，
∴|QF₂|_min=a-c．
（Ⅱ）解：依題意設切線長|PT|=

|PF2|2-(b-c)2

∴當且僅當|PF₂|取得最小值時|PT|取得最小值，
∴

(a-c)2-(b-c) 2

≥

3

2

（a-c），
∴0＜

b-c

a-c

≤

1

2

，從而解得

3

5

≤e＜

2

2

；
（Ⅲ）依題意Q點的坐標為（1，0），則直線的方程為y=2（x-1），
與橢圓方程

x2

a2

+y2=1聯立方程組，消去y得（4a²+1）^_x2-8a²x+3a²=0
設A（x₁，y₁）（x₂，y₂），則有x₁+x₂=

8a2

4a2+1

，x₁x₂=

3a2

4a2+1

，
代入直線方程得y₁y₂=

4-4a2

4a2+1

，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴

3a2

4a2+1

+

4-4a2

4a2+1

=0
∴a=2
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．